domingo, 12 de agosto de 2007

ÁREA ENTRE DOS CURVAS


APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:
CÁLCULO ENTRE DOS ÁREAS

INDUCCIÓN

La aplicación más importante del Cálculo Integral en la antigüedad fue el cálculo de áreas. Cuando deseamos aproximarnos al valor del área entre dos curvas, o entre una curva y los ejes cartesianos, una forma sencilla de hacerlo es mediante medición directa, o mediante teselación de la figura empleando triángulos (u otra figura de área conocida), hasta cubrir totalmente el área, como se muestra en la siguiente figura (en este caso, la superficie a la que se le va a calcular el área es elipsoidal):


En ocasiones la precisión es importante y es cuando nos preguntamos: ¿qué puedo hacer cuando la figura es irregular? Para estos y para muchos otros casos más, el Cálculo Integral tiene la solución más aproximada.


ESTRUCTURACIÓN

Calcular el área entre dos curvas o superficies puede ser algo sencillo si podemos percatarnos de lo esencial. Observe la siguiente gráfica:


El área entre dos curvas se puede definir como: “el área bajo la curva de la función más elevada [f(x)] menos el área bajo la curva de la función más baja [g(x)]”. Matemáticamente, podemos expresar esto como:

AREA = Integral definida, desde a hasta b, de la función f(x) menos la función g(x)

Veamos un ejemplo de aplicación:



Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas y = x*x e y = 2*x – x*x

Lo primero que debemos hacer al iniciar una actividad de cálculo de áreas entre dos curvas es representarlas en el plano. A continuación se bosquejan las dos curvas en un mismo plano:


Podemos observar en la figura que hay dos puntos de intersección entre las curvas. Esos puntos de intersección se pueden hallar igualando las funciones y en las expresiones anteriores. Estos son los siguientes:

y = y -> x*x = 2*x - x*x -> 2*x*x = 2*x

Por lo tanto: x*x - x = 0. En otras palabras, x*(x - 1) = 0 -> x1 = 0, x2 = 1

Los valores encontrados son precisamente los límites de integración. Observando que

f(x) = 2x – x*x y g(x) = x*x, y aplicando a la expresión del área entre dos curvas, obtenemos:

ÁREA = integral, desde 0 hasta 1, de la expresión 2*x - 2*x*x

Resolviendo la expresión anterior, obtenemos:

ÁREA = [x*x]evaluada de cero a uno - 2/3[x*x*x]evaluada de cero a uno

Por lo tanto, ÁREA = 1 - 2/3 = 1/3 unidades cuadradas


CONSOLIDACIÓN

Encontrar el área entre las curvas y = 2*x e y = x*x – 4*x.


Al igualar las expresiones en y, obtenemos:
2*x = x*x - 4*x -> 6*x = x*x. Esto significa que: x*x - 6*x = 0. Al factorizar, se obtiene:

x*(x - 6) = 0. De aquí que: x1 = 0, x2 = 6 (que son precisamente los lìmites de integraciòn).

De la gráfica, podemos observar que f(x) = 2x, y que g(x) =x*x – 4*x. Una situación interesante se presenta en el intervalo 0 ≤ x ≤ 4: en esta región, el área de la parábola es negativa. Esto significa que hay que multiplicarla por – 1 antes de restarla de la función f(x). Fuera de este intervalo, el tratamiento de la expresión es el mismo.

Con esta información, podemos obtener:

ÁREA = Integral de, desde 0 hasta 4, de (-2*x + x*x) + Integral, desde 4 hasta 6, de (6*x - x*x)
Operando, se obtiene: ÁREA = -2 Integral, desde 0 hasta 6, de (x) + Integral, desde 0 hasta 6, de (x*x) + 6 Integral, desde 4 hasta 6, de (x) - Integral, desde 4 hasta 6, de (x*x).

Al aplicar la integral definida, se obtiene, finalmente:

ÁREA = 36 + 216/3 + 60 - 152/3 = 117.333 unidades cuadradas (aproximádmente).

GENERALIZACIÓN

Encuentra las áreas formadas por las curvas que se mencionan a continuación (se anexa gráfico):
1. y = x, y = x*x.
2. y = 1/x, y = 1/(x*x).
3. y = x*x, y*y = x.

PÁGINAS QUE PUEDES CONSULTAR:

http://www.erain.es/departamentos/matematicas/maple/ikasteak02/expon.htm

http://html.rincondelvago.com/calculointegral

http://sauce_pntic.mec.es/jpeo0002/Archivos/PDF/T11.pdf